布尔代数（英语：Boolean algebra）在抽象代数中是指捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。
记号
- 与门：\(F(A,B)=A\times B\)
- 或门：\(F(A,B)=A+B\)
- 非门：\(F(A)=\bar{A}\)或\(F(A)=A'\)或\(F(A)=\neg A\)
运算规则
01律
\[ \bar{0}=1 \]
\[ \bar{1}=0 \]
\[ 0\times A=0 \]
\[ 0+A=A \]
\[ 1\times A=A \]
\[ 1+A=1 \]
重复律
\[ A\times A=A \]
\[ A+A=A \]
互补律
\[ A\times \bar{A}=0 \]
\[ A+\bar{A}=1 \]
以上的恒等式常常用于化简代数式，即补入常数，进而因式分解或做其他操作。
交换律
\[ A+B=B+A \]
\[ A\times B = B\times A \]
结合律
\[ (A\times B)\times C=A\times (B\times C) \]
\[ (A+B)+C=A+(B+C) \]
分配律
\[ A\times (B+C)=A\times B + A\times C \]
\[ A+B\times C=(A+B)\times (A+C) \]
注意第二条等式（加对乘的分配律），证明考虑逆向推导。这个性质可用于化为POM标准型的场合（见下文）。
以上等式是显然的，使用真值表即可直观证明。证明过程略去。
吸收律
\[ A+A\times B=A \]
\[ A\times(A+B)=A \]
证明第一式： \[ A+A\times B=A\times 1+ A\times B=A\times(1+B)=A\times 1=A \] 利用对偶性质即可得到第二式（见下文）。
化简律
\[ A+\bar{A}\times B=A+B \]
\[ A\times (\bar{A}+B)=A\times B \]
证明第一式： \[ A+\bar{A}\times B=(A+\bar{A})\times(A+B)=1\times (A+B)=A+B \] 同样利用对偶性质得到第二式。
归一律
\[ A\times B + \bar{A}\times C+B\times C=A\times B+\bar{A}\times C \]
\[ (A+B)\times (\bar{A}+C)\times (B+C)=(A+B)\times (\bar{A}+C) \]
证明第一式： \[ A\times B + \bar{A}\times C+B\times C=A\times B\times (C+\bar{C})+\bar{A}\times (B+\bar{B})\times C+(A+\bar{A})\times B\times C=A\times B\times C+A\times B\times \bar{C}+\bar{A}\times B\times C+\bar{A}\times \bar{B}\times C=A\times B+\bar{A}\times B \] 利用对偶得到第二式。
德摩根定律（De Morgan's Law）
\[ \overline{A+B}=\bar{A}\times \bar{B} \]
\[ \overline{A\times B}=\bar{A}+\bar{B} \]
可用真值表证明。
Break the line, change the line.
运算性质
换元性质（Substitution Theorem）
布尔代数遵循一般的换元规则。
对偶性质（Duality Theorem）
如果一个等式成立，那它的对偶亦成立
对偶：保持运算顺序，变量不变，与或互换，01互换。
前文各性质的两个等式都互为对偶。
互补性质（Complementary Theorem）
用于求反函数（指布尔输出相反的函数）。
互补：保持运算顺序，变量取反，与或互换，01互换。
事实上，直接用德摩根定律更直观。
规范型（Canonical Form）
对应于同样真值表的布尔表达式可能有很多种形式，这使得化简变得很有需要。为了更好地完成这份工作，规定了两种布尔表达式的规范型。
最小项之和（SOM）
SOM: Sum-of-Minterm
最小项：当且仅当变量取某一值时为1，其余皆为0。
换句话说，就是把使输出为1的每一种变量情况或起来。
记号：当变量输入的十进制表示为\(i\)时，对应的最小项记为\(m_i\)。
输入的十进制表示：例如变量排序为A, B, C，输入情况为A=1, B=1, C=0，则十进制表示为(110)=6。
最大项之积（POM）
POM: Product-of-Maxterm
最大项：当且仅当变量取某一值时为0，其余皆为1。
可以这样理解：所有最大项与起来，代表的变量情况就是使输出为1的那些。
记号：当变量输入的十进制表示为\(i\)时，对应的最小项记为\(M_i\)。
记法
\[ F=m_{k_1}+m_{k_2}+\dots +m_{k_n}=\Sigma_{m}(k_1,k_2,\dots,k_n) \]
\[ F=M_{k_1}\times M_{k_2}\times \dots \times M_{k_n}=\Pi_{M}(k_1,k_2,\dots,k_n) \]
例如，以下真值表：
| X | Y | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
有： \[ F=\bar{X}\times\bar{Y}+X\times\bar{Y}=m_0+m_2=\Sigma_m(0,2) \]
\[ F=(X+\bar{Y})\times(\bar{X}+\bar{Y})=M_1\times M_3=\Pi_M(1,3) \]
SOM与POM的转化
变量输入最小项取值与最大项取值互为补集。
例如，\(\Sigma_m(0, 1, 3, 5)=\Pi_M(2, 4, 6, 7)\)。
标准型（Standard Form）
得到规范型后进一步化简得到规范型。注意：规范型必须是和的积（POS）或者积的和（SOP）的形式。也就是说，电路图只有两层。